Razón de chances (odds ratio) en el modelo logístico

Introducción

El modelo logístico más sencillo es la regresión logística. Para una covariable x, podemos escribir el modelo como:

log(p_i / (1 - p_i)) = β₀ + β₁x_i

donde p_i = P(Y_i = 1 | x_i) es la probabilidad desconocida del evento de interés para el valor x_i de la covariable. Esta probabilidad debe estimarse a partir del modelo ajustado.

Recordemos que, dada una probabilidad p, la chance (odds) se define como:

chance = p / (1 - p)

Por lo tanto, el modelo logístico expresa el logaritmo de las chances (el logit) como una combinación lineal de los parámetros:

log(chance_i) = β₀ + β₁x_i

Aplicando la función exponencial a ambos lados:

chance(x) = exp(β₀ + β₁x)

Supongamos ahora que queremos comparar la chance para un valor x con la correspondiente a x + 1. La razón de chances es:

RC = chance(x + 1) / chance(x)

Sustituyendo las expresiones anteriores:

RC = exp[β₀ + β₁(x + 1)] / exp(β₀ + β₁x)

Simplificando:

RC = exp(β₁)

Esta expresión es la base para calcular las razones de chances (odds ratios). Para un coeficiente del modelo β, su razón de chances se obtiene mediante:

RC = exp(β)

Una razón de chances igual a 1 indica ausencia de cambio en las chances; valores mayores que 1 indican un aumento y valores menores que 1 indican una disminución.

Razones de chances en un modelo aditivo

Consideremos el ajuste de un modelo logístico al conjunto de datos Preñez, disponible en los Datos de Prueba de Navure.

Los datos corresponden a un ensayo de inseminación en vacas lecheras. La variable respuesta es binaria e indica la ocurrencia de preñez (1) o no preñez (0). Los predictores son:

tamaño CL: tamaño del cuerpo lúteo, medido en centímetros e incluido como covariable.
Suplemento: uso o no de un suplemento dietario, incluido como factor.

En este primer ejemplo se ajustó un modelo aditivo:

logit(p) = β₀ + β₁Suplemento + β₂tamaCL

Esto significa que el modelo no contiene interacción entre el suplemento y el tamaño del cuerpo lúteo.

Los coeficientes ajustados y sus razones de chances son:

Parámetro	Estimación	EE	Valor T	Valor-p	RC	RC LI95%	RC LS95%
(Intercept)	-0,36	0,48	-0,75	0,4537
SuplementoSi	1,12	0,36	3,14	0,0017	3,07	1,52	6,18
tamaCL	1,71	0,35	4,85	<0,0001	5,52	2,77	11,02

¿Cómo deben interpretarse estas razones de chances?

La razón de chances de 3,07 para SuplementoSi, con un intervalo de confianza del 95% de 1,52 a 6,18, indica que la chance de preñez de los animales suplementados es aproximadamente 3 veces la chance de preñez de los animales no suplementados, para un mismo tamaño del cuerpo lúteo.

Como el modelo es aditivo, esta razón de chances es constante para cualquier valor de tamaCL.

Para tamaCL la razón de chances es 5,52. Como se trata de una covariable medida en centímetros, la interpretación es diferente de la correspondiente a un factor.

Al comparar animales cuyo tamaño del cuerpo lúteo difiere en 1 cm, es decir, x frente a x + 1, la razón de chances es:

RC = exp(1,71) = 5,52

Por lo tanto, la chance de preñez para un animal con un cuerpo lúteo de x + 1 cm es aproximadamente 5,5 veces la correspondiente a un animal con un cuerpo lúteo de x cm, manteniendo constante la suplementación.

Como no existe interacción, este efecto es el mismo tanto para animales suplementados como para no suplementados.

Combinación de efectos

Supongamos ahora que queremos comparar:

un animal suplementado con un tamaño del cuerpo lúteo de x + 1 cm, con
un animal no suplementado con un tamaño del cuerpo lúteo de x cm.

¿La razón de chances sigue siendo 5,52? No.

¿Es 3,07 + 5,52? Tampoco.

Las razones de chances se combinan multiplicativamente:

RC = 3,07 × 5,52 = 16,95

La razón es que los efectos son aditivos en la escala logit, pero multiplicativos en la escala de las chances:

exp(β₁ + β₂) = exp(β₁) × exp(β₂)

Razones de chances en un modelo con interacción

Consideremos ahora un modelo que incluye la interacción entre suplementación y tamaño del cuerpo lúteo:

logit(p) = β₀ + β₁Suplemento + β₂tamaCL + β₃(Suplemento × tamaCL)

Los coeficientes ajustados son:

Parámetro	Estimación	EE	Valor T	Valor-p	RC	RC LI95%	RC LS95%
(Intercept)	-0,38	0,57	-0,67	0,5059
SuplementoSi	1,17	0,92	1,28	0,1994	3,24	0,54	19,47
tamaCL	1,72	0,43	4,00	<0,0001	5,61	2,41	13,07
SuplementoSi:tamaCL	-0,05	0,75	-0,06	0,9498	0,95	0,22	4,13

Para esta discusión no nos interesa la significación estadística de los términos. El objetivo es mostrar cómo deben interpretarse las razones de chances cuando existe una interacción.

Efecto del tamaño del cuerpo lúteo

Una vez incluida la interacción, las razones de chances de los efectos principales ya no pueden interpretarse independientemente de las demás variables involucradas en la interacción.

La razón de chances de 5,61 correspondiente a tamaCL es:

exp(1,72) = 5,61

Pero no representa el efecto de aumentar 1 cm el tamaño del cuerpo lúteo para todos los animales. Representa ese efecto para el nivel de referencia de Suplemento, es decir, para los animales no suplementados.

Por lo tanto:

RC_{tamaCL, No suplemento} = 5,61

Para los animales suplementados, el incremento de 1 cm involucra tanto el coeficiente de tamaCL como el de la interacción:

RC_{tamaCL, Suplemento} = exp(1,72 - 0,05)

Equivalentemente:

RC_{tamaCL, Suplemento} = 5,61 × 0,95 ≈ 5,33

Nuevamente, las razones de chances se combinan multiplicativamente.

Comparación simultánea de suplemento y tamaño del cuerpo lúteo

Supongamos que queremos comparar:

un animal suplementado con un tamaño del cuerpo lúteo de x + 1 cm, con
un animal no suplementado con un tamaño del cuerpo lúteo de x cm.

En este caso hay que tener cuidado: cuando existe interacción, la razón de chances depende del valor de x.

Para el animal no suplementado:

η₀(x) = β₀ + β₂x

Para el animal suplementado con x + 1:

η₁(x + 1) = β₀ + β₁ + β₂(x + 1) + β₃(x + 1)

La diferencia entre ambos predictores es:

η₁(x + 1) - η₀(x) = β₁ + β₂ + β₃(x + 1)

Por lo tanto:

RC(x) = exp[β₁ + β₂ + β₃(x + 1)]

Este punto es importante: no alcanza con multiplicar 3,24 × 5,61 × 0,95, salvo que el valor de x haga que esa expresión corresponda exactamente a la comparación considerada. La interacción hace que el efecto de la suplementación dependa del tamaño del cuerpo lúteo.

Razón de chances de suplementación para distintos valores de la covariable

¿Cuál es entonces la razón de chances de animales suplementados respecto de animales no suplementados?

Cuando existe interacción, depende del valor de tamaCL.

Para un tamaño del cuerpo lúteo x:

logit(p_Suplemento) - logit(p_{No suplemento}) = β₁ + β₃x

Por lo tanto:

RC_{Suplemento vs. No suplemento}(x) = exp(β₁ + β₃x)

La razón de chances de 3,24 que aparece en la tabla corresponde a:

exp(β₁) = exp(1,17) = 3,24

es decir, al efecto de suplementación cuando:

tamaCL = 0

Este valor puede carecer de interés biológico si un tamaño de cuerpo lúteo igual a cero está fuera del rango relevante de los datos.

Una alternativa más informativa es calcular las razones de chances para valores representativos de la covariable, por ejemplo sus cuartiles.

Utilizando:

primer cuartil: 1,11 cm;
mediana: 1,51 cm;
tercer cuartil: 1,82 cm;

obtenemos:

RC(1,11) = exp(1,17 - 0,05 × 1,11) ≈ 3,05

RC(1,51) = exp(1,17 - 0,05 × 1,51) ≈ 2,99

RC(1,82) = exp(1,17 - 0,05 × 1,82) ≈ 2,94

Esto permite interpretar directamente cómo cambia el efecto de la suplementación a lo largo del rango de valores del tamaño del cuerpo lúteo.

Consideraciones generales

Las razones de chances permiten expresar los efectos de un modelo logístico en una escala multiplicativa:

RC = exp(β)

Sin embargo, su interpretación depende de la estructura del modelo.

En un modelo aditivo, la razón de chances asociada con un predictor puede interpretarse manteniendo constantes los demás predictores.

En un modelo con interacción, la razón de chances de una variable involucrada en la interacción depende del valor o nivel de la otra variable. En consecuencia, las razones de chances que aparecen directamente en la tabla de coeficientes corresponden a condiciones particulares definidas por las categorías de referencia y por el valor cero de las covariables.

Por esta razón, cuando existen interacciones puede ser más informativo calcular razones de chances para comparaciones específicas y para valores representativos de las covariables, en lugar de interpretar aisladamente los valores exp(β) de la tabla de coeficientes.

Razón de chances no es razón de probabilidades

Finalmente, una razón de chances no debe interpretarse como una razón de probabilidades.

Por ejemplo:

RC = 3

no significa que la probabilidad del evento sea tres veces mayor.

La chance y la probabilidad están relacionadas por:

chance = p / (1 - p)

p = chance / (1 + chance)

Por lo tanto, una misma razón de chances puede corresponder a cambios muy diferentes en la probabilidad, dependiendo de la probabilidad inicial.

Referencias

Agresti, A. (2012). Categorical Data Analysis (3rd ed.). John Wiley & Sons.

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